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2019-06-16

因数分解の別解 続続

因数分解の別解、続き

交代式にも前のやりかたを適用する、、

ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)

3項目を c-a = -(a-b) -(b-c) と分割

= ab(a-b) + bc(b-c) - ca(a-b) - ca(b-c)

1項目と2項目に組み入れると

= a(a-b)(b-c) + c(b-c)(b-a)

= -(a-b)(b-c)(c-a)

 

こんな交代式にも、、

c2(a-b) + a2(b-c) + b2(c-a)

3項目を c-a = -(a-b) -(b-c) と分割

= c2(a-b) + a2(b-c) - b2(a-b) - b2(b-c)

1項目と2項目に組み入れると

= (a-b)(c2-b2) + (b-c)(a2-b2)

= (a-b)(c-b)(c+b) + (b-c)(a-b)(a+b)

= (a-b)(c-b)(c+b-a-b)

= -(a-b)(b-c)(c-a)

 

同じように2乗についても

c(a2-b2) + a(b2-c2)+ b(c2-a2)

= c(a2-b2) + a(b2-c2)- b(a2-b2) - b(b2-c2)

= (c-b)(a2-b2) + (a-b)(b2-c2)

= (c-b)(a-b)(a+b) + (a-b)(b-c)(b+c)

= (a-b)(b-c)(b+c-a-b)

= (a-b)(b-c)(c-a)

 

(x-a)(x-b)(b-a) + (x-b)(x-c)(c-b) + (x-c)(x-a)(a-c)

展開し x について整理すると、x2と x の係数は 0 。で最初の問題に帰着するという解が王道で、2010年4月号の「大学への数学」でも同じような筋の解だったが、上と同じような手法で

= (x-a)(x-b)(b-a) + (x-b)(x-c)(c-b) - (x-c)(x-a)(c-b + b-a)

= (b-a)(x-a)(x-b -x+c) + (c-b)(x-c)(x-b- x+a)

= (b-a)(x-a)(c-b) + (c-b)(x-c)(a-b)

= (a-b)(b-c)(x-a - x+c)

= (a-b)(b-c)(c-a)

 

 

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