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パズル

2019-06-17

因数分解の別解 まだ

因数分解の別解、続き

さて、前回の3つの式

ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)

= -(a-b)(b-c)(c-a)

 

c2(a-b) + a2(b-c) + b2(c-a)

= -(a-b)(b-c)(c-a)

 

c(a2-b2) + a(b2-c2)+ b(c2-a2)

= (a-b)(b-c)(c-a)

 

同じような形で因数分解できたということは元が同じで、行列式

| 1 1 1 |
| a2 b2 c2 |
| a b c |

を、各行で展開したものになっているのだった。 

 

2019-06-16

因数分解の別解 続続

因数分解の別解、続き

交代式にも前のやりかたを適用する、、

ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)

3項目を c-a = -(a-b) -(b-c) と分割

= ab(a-b) + bc(b-c) - ca(a-b) - ca(b-c)

1項目と2項目に組み入れると

= a(a-b)(b-c) + c(b-c)(b-a)

= -(a-b)(b-c)(c-a)

 

こんな交代式にも、、

c2(a-b) + a2(b-c) + b2(c-a)

3項目を c-a = -(a-b) -(b-c) と分割

= c2(a-b) + a2(b-c) - b2(a-b) - b2(b-c)

1項目と2項目に組み入れると

= (a-b)(c2-b2) + (b-c)(a2-b2)

= (a-b)(c-b)(c+b) + (b-c)(a-b)(a+b)

= (a-b)(c-b)(c+b-a-b)

= -(a-b)(b-c)(c-a)

 

同じように2乗についても

c(a2-b2) + a(b2-c2)+ b(c2-a2)

= c(a2-b2) + a(b2-c2)- b(a2-b2) - b(b2-c2)

= (c-b)(a2-b2) + (a-b)(b2-c2)

= (c-b)(a-b)(a+b) + (a-b)(b-c)(b+c)

= (a-b)(b-c)(b+c-a-b)

= (a-b)(b-c)(c-a)

 

(x-a)(x-b)(b-a) + (x-b)(x-c)(c-b) + (x-c)(x-a)(a-c)

展開し x について整理すると、x2と x の係数は 0 。で最初の問題に帰着するという解が王道で、2010年4月号の「大学への数学」でも同じような筋の解だったが、上と同じような手法で

= (x-a)(x-b)(b-a) + (x-b)(x-c)(c-b) - (x-c)(x-a)(c-b + b-a)

= (b-a)(x-a)(x-b -x+c) + (c-b)(x-c)(x-b- x+a)

= (b-a)(x-a)(c-b) + (c-b)(x-c)(a-b)

= (a-b)(b-c)(x-a - x+c)

= (a-b)(b-c)(c-a)

 

 

2019-06-14

因数分解の別解、続

因数分解の別解、続き

2abc がついているのもあった

ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc

前と同じように、

X = a+b+c 

とおいてみた。

= ab(X-c) + bc(X-a) + ca(X-b) + 2abc

となり、簡単に整理でき

= (ab + bc + ca)X -3abc + 2abc

となり、前回と似たような形となった。1項と2項を追加せば

= X3  - (a+b+c)X+ (ab+bc+ca)X - abc

根と係数の関係より

= (X-a)(X-b)(X-c)

= (a+b)(b+c)(c+a)

であるが、技巧的か。

もっと、一般性があるやりかたは、、

ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc

3項目と4項目を組み合わせると

= ab(a+b) + bc(b+c) + ca(a+b) + ca(b+c)

1項目と2項目にわけて組み入れると

= a(a+b)(b+c) + c(b+c)(a+b)

= (a+b)(b+c)(c+a)

 

また、7abc がついているのもあった

bc(b+2c) + 2ca(c+3a) + 3ab(a+b) + 7abc

同様に3項目と4項目を組み合わせると

= bc(b+2c) + 2ca(c+3a) + 3ab(b+2c) + ba(c+3a)

1項目と2項目にわけて組み入れると

= b(b+2c)(c+3a) + a(c+3a)(b+2c)

= (a+b)(b+2c)(c+3a)

 

同様な順で出来たのだが 

これは2c=C, 3a=A, b=Bとおいてみれば  

Bc(b+C) + Ca(c+A) + Ab(a+B) + ABC + abc

Bc(b+C) + Ca(c+A) + AB(b+C) + ab(c+A)

となり、構造に変わりないから当然だった  

 

2019-06-13

因数分解の別解

因数分解の別解を、忘れないうちに、、

(a+b)(b+c)(c+a) + abc

前と同じように、

X = a+b+c 

とおいてみた。

と、、、

= (X-a)(X-b)(X-c) + abc

となり見慣れた形となった。根と係数の関係より、

= X3  - (a+b+c)X+ (ab+bc+ca)X - abc + abc

a+b+c=X だから、上手い具合に1項と2項が消える。

あとは

= (ab+bc+ca)(a+b+c)

 

また、こんなのもあった

a2(b+c) + b2(c+a) + c2 (a+b) + 3abc

 3abcがでてくるのだからと、、

= a2(a+b+c) + b2 (b+c+a) + c2 (c+a+b)
     -a3- b3 -c3 + 3abc

こんなことをしてみれば 

 = (a+b+c)(a2 + b2 + c2 )
   -(a+b+c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

= (a+b+c)(ab + bc + ca)

 

 

2012-05-23

同じような問題

(a+b+c)2 + (-a+b+c)2 + (a-b+c)2 + (a+b-c)2

もあった。

例によって

X= a+b+c
A=-a+b+c
B= a-b+c
C= a+b-c
A+B+C=a+b+c=X

として、、2乗があるのだから

(X-A)2 + (X-B)2 + (X-C)2

を計算してみる。2項の2乗だから簡単で

=3X2 - 2(A+B+C)X + A2 + B2 + C2  

=X2 + A2 + B2 + C2

となり、求める式だったから

=4a2 + 4b2 + 4c2

となるのだった。

3乗が出てくる問題もあったが

(a+b+c)3 - (-a+b+c)3 - (a-b+c)3 - (a+b-c)3

=(A+B+C)3 - A3 - B3 - C3

となり大分見やすくなった。A=-B なら 式の値は 0 となること。また係数は3ということもわかるから、、

=3(A+B)(B+C)(C+A)

と因数分解!ができることとなる。この値は簡単に計算できて

=3(2c)(2a)(2b)

=24abc

ふーむ、、

2012-05-21

こんな具合に

いつも上手くいったらいいのだが、、

(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)+(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
+(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)-(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

以前に計算したときは、3乗の項は、2乗の項は、、という具合に計算したものだった。

X= a+b+c
A=-a+b+c
B= a-b+c
C= a+b-c

とおいてみた。

と、、、

X(AB+BC+CA)-ABC

となり見慣れた形となった。それは、、

(X-A)(X-B)(X-C)

=X3 -(A+B+C)X2+(AB+BC+CA)X -ABC

に現れるのだった。

A+B+C=a+b+c=X だから、上手い具合に1項と2項が消える。

あとは

X-A=2a
X-B=2b
X-C=2c

だから、あっという間に

8abc

あっけなし、、

2008-11-19

サムナンプレ(Killer sudoku)の印刷

killer sudoku ばっかりやっている、、

と、、印刷することを考えてしまうのは、性か業か。

普通の数独だったら、データもシンプルで、どのフォーマットでも似たり寄ったりだ。しかし、killer sudoku の場合は、盤面が枠で区切られていて、その枠内の合計もある。人によってマチマチのフォーマットのようだ。データをみても理解できないものもある。

私が考えたのは以下のようなもので、分かりやすいものだ

#K No.9    15mins   MODERATE:2005-09-12
-1------- ABCCDEEFF   A=24 B=4  C=6  D=23 E=16
-3------- ABGGDHIII   F=8  G=3  H=8  I=18 J=9
--------- AJKLDHMNO   K=14 L=13 M=7  N=23 O=4
--------- PJKLQQNNO   P=7  Q=23 R=30 S=4  T=12
--------- PRSSQTTNU   U=8  V=7  W=3  X=3  Y=13
-----21-- VRRQQWXYU   Z=7  a=13 b=10 c=24 d=6
-----12-- VRZabWXYc   e=15 f=5  g=15 h=13 i=7
--------- dddabeefc
--------- gghhbiifc

 

で、印刷の方だが、、

合計の表示は簡単だったのだが、枠の表示が悩みだった。以前は、あるマスに注目し、その周りマスが対象の枠に属するかどうかで判定していたのだったが、面倒だった。最近斜めに枠がつながるという問題(以前は対象外としていた)での枠の引き方を考えていたら、どうにも場合分けが煩雑すぎる、、

で、logo の タートルを思い出し、プログラムしてみたら、すっきりとなった。たまには上手く行くこともあるみたいだ。

2008-03-15

数独 4

「数独 4」を分析してみた。

やはり、hidden single と naked single で大体解ける。

解けないのは、 91, 93, 94, 99 の4問。

91,94  は [単一ブロックの同一列]で解ける。

93は naked pair

99 は、、、

3つの数字が3つのマスに入ることが限定されるとき、、、
naked triple

で解ける。

2008-03-12

数独 3

「数独 3」も分析してみた。なんと、hidden single と naked single で全部解けてしまった。
「安福良直」さんの問題がなかったからか。

あと、「TETSU」という名前による出題も何題かあるが、TETSUさんなのだろうか?

そういえば、誰も気にしていないだろうと思われる発言の為、しばらく、倖田來未を見かけないが、右首にあるホクロは取ったのだろうか?こちらも気になる。

2008-03-11

数独 2

「数独 2」も分析してみた。やはり、hidden single と naked single で大体解けるが、解けないのは、 40, 94, 95, 98, 99 の5問。

40, 94, 95 は [単一ブロックの同一列]で解ける。

98 は

二つの数字が二つのマスに入ることが限定されるとき、他の数字はそれらのマスに入らない。
(wikipedia より)  naked pair または hidden pair

で解ける

99 は簡単に見つからず行かず、[単一ブロックの同一列]、[naked pair]で候補を絞っていくうちにnaked pair が数セットできて確定する所がでてくる。 頭の中だけではなかなか解けそうにも無い。

より以前の記事一覧